Panserformlen

Panserformlen er en matematisk formel der bruges når man skal finde en fuldstændig løsning ud fra en lineær differentialligning af første orden.

Formlen giver løsningen til differentialligningen

$y'+h(x)y=g(x)$

for to kontinuerte funktioner, $h$ og $g$, under betingelsen $y(x_{0})=k$. Formlen er givet ved:

$y(x)=e^{-H(x)}\left(\displaystyle \int e^{H(x)}g(x)\,dx+c\right)$,

hvor $H(x)=\int h(x)dx$ er en stamfunktion til $h(x)$.

Bevis

Panserformlen kan bevises ved at antage, at en stamfunktion $H(x)$ til $h(x)$ eksisterer. På begge sider af differentialligningen multiplicerer man først med $e$ opløftet i $H(x)$ sådan:

$e^{H(x)}y'+e^{H(x)}h(x)y=e^{H(x)}g(x)$

$\Leftrightarrow$ Da der gælder at:

${\frac {d}{dx}}\left(e^{H(x)}\right)=e^{H(x)}{\frac {d}{dx}}\left(H(x)\right)=e^{H(x)}h(x)$

kan man skrive differentialligningen sådan:

$e^{H(x)}y'+{\frac {d}{dx}}\left(e^{H(x)}\right)y=e^{H(x)}g(x)$

$\Leftrightarrow$ Vha. produktreglen for differentiation kan man føje de to led med $y$ sammen sådan:

${\frac {d}{dx}}\left(e^{H(x)}y\right)=e^{H(x)}g(x)$

$\Leftrightarrow$ Man integrerer mht. $x$ på begge sider, hvilket ophæver differentiationen på venstresiden:

$e^{H(x)}y-c=\int e^{H(x)}g(x)dx$

hvor $c$ er en integrationskonstant, som tilhører de reelle tal.

$\Leftrightarrow$ Konstanten flytter man over på højresiden, og man dividerer med $e^{H(x)}$ sådan:

$y=e^{-H(x)}\left(\int e^{H(x)}g(x)dx+c\right)$

Så har man isoleret $y$. Den endelige integrationskonstant kan man nu bestemme, hvis $y$ er kendt til et bestemt punkt $x_{0}$, således at $y(x_{0})=k$.

Panserformlen er hermed bevist.

Q.E.D.

Der findes et alternativt bevis for panserformlens korrekthed.

Se også

• Nålestiksmetoden

Referencer

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.