- Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.
Her er nogle regneregler for differentiation. Det forudsættes at alle funktioner er differentiable og dermed kontinuerte for den givne definitionsmængde:
- , hvor er en konstant, har den afledede
- (1): , hvor er en konstant, har den afledede
- har den afledede , og heraf
- har den afledede , undtagen for x=0
Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:
- (kædereglen)
- (2): (sumreglen)
- (differensreglen)
- (produktreglen)
- , undersøges for g(x)=0
- , undersøges for g(x)=0 (følger af og )
- Differentiation er linear. (følger af (1) og (2) )
- Sinus-funktionen har differentialkvotienten
- Cosinus-funktionen har differentialkvotienten
- Tangens, , har differentialkvotienten
- Den naturlige eksponentialfunktion, , er pr. definition lig med sin differentialkvotient. Dvs. at konstanten e er defineret til at være det reelle tal som opfylder ligningen .
- Eksponentialfunktionen hvor er en konstant, har differentialkvotient , hvor er den naturlige logaritmefunktion
- Den naturlige logaritme, , har differentialkvotienten
Differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner[redigér | rediger kildetekst]
Sumreglen lader differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner beregnes.
En funktion, f(x), der er givet som en sum:
har differentialkvotienten
Dvs. differentialkvotienten af summen er lig med summen af funktionernes differentialkvotienter.
Først finder vi sekantens hældning, eller differenskvotienten:
Da f(x)=v(x)+u(x), får vi:
Ovenstående ligning kan let omskrives til følgende:
Hvis (dvs. tilvæksten på x-aksen bliver uendelig lille), så går brøken mod grænseværdierne. Det er hermed bevist, at
Differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner[redigér | rediger kildetekst]
Produktreglen lader differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner beregnes.
En funktion, f(x), der er givet som et produkt:
har differentialkvotienten
Først findes sekantens hældning, eller differenskvotienten:
Hvilket, idet f(x) = v(x)u(x), bliver
Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt.
u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:
Differentialkvotienten bliver således:
Hvilket i det generelle tilfælde er:
Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:
Umiddelbart ville man ikke tro at , og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):
Differentialkvotienten af brøken af to differentiable funktioner[redigér | rediger kildetekst]
Kvotientreglen lader differentialkvotienten af brøken af to differentiable funktioner beregnes.
En funktion, f(x), der er givet som en brøk:
har differentialkvotienten