Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
En familie af lige linjer samt den resulterende indhylningskurve.
En indhylningskurve (engelsk: envelope) er i geometrien en kontinuer kurve, hvor hvert punkt til sammen tangerer alle medlemmer af en familie af kurver.
Enhver kurve i to dimensioner kan skrives som:
![{\displaystyle y=f_{t}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3575665d93d7eff7335444a7a97dc2891ec3c4f)
hvor
og
er koordinater, og
er et parameter for kurvefamilien. Den kan dog også skrives som en funktion lig nul:
![{\displaystyle g_{t}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f3d55e920ddeddd6768e7d94c838a4d698dfbb)
Tilsvarende må der være en funktion
lig nul for indhylningskurven:
-
![{\displaystyle F(x,y,t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ede1b7e8e4dbc3f44c919f3ee67bf391b2623dff)
|
|
(1)
|
indhylningskurven gælder for alle værdier af
– den skal dække hele familien – så:
![{\displaystyle F(x,y,t_{1})=F(x,y,t_{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b50513d43f60e597b46a3d2a41f6b6844e4702a)
Deraf følger, at
![{\displaystyle {\frac {F(x,y,t_{2})-F(x,y,t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9050591d56c4dac60aeae23c396fee9d3f95ca44)
Når
går mod
, er dette definitionen på en differentialkvotient:
-
![{\displaystyle {\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbcdf462d0127ddd6963ed72519cb9f41ccad3d0)
|
|
(2)
|
Ligning 1 og 2 definerer indhylningskurven.[1]
I denne familie går hver linje mellem punkterne (
,0), (0,
). Her er
.
Inden for string art er det almindeligt at lade lige snore gå fra søm til søm for derved at skabe nye former.
I et simpelt tilfælde forbinder hver snor punkterne
og (
, hvor
er en konstant, og
er familiens parameter. Den lige linje er da givet ved:
![{\displaystyle y=-{\frac {k-t}{t}}x+k-t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01fe5ff199775bf9ac2e62516f6d4543865a0fa)
Ved at trække
fra findes
:
![{\displaystyle F(x,y,t)=-{\frac {kx}{t}}-t+k+x-y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a176f4e4d202e1db635ff4aa2dc52011079103ec)
Den afledte er da:
![{\displaystyle {\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}={\frac {kx}{t^{2}}}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f35196332e727c55bc589cff2092e31da5310c1)
Af denne ligning følger det, at:
![{\displaystyle t={\sqrt {kx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93cebfaee2c6bf57ce516dd6092f9cbb1b171838)
Dette indsættes i udtrykket for
, og
isoleres:
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&-{\frac {kx}{\sqrt {kx}}}+x+k-{\sqrt {kx}}\\y=&x+k-2{\sqrt {kx}}\\y=&({\sqrt {x}}-{\sqrt {k}})^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757eee9deccabe5fc0f6f36e481440ef29329474)
Dermed er indhylningskurven fundet.
- ^ Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), Curves and Singularities, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42999-4