Rational rod-sætningen

Inden for matematik angiver rational rod-sætningen hvilke mulige rationale rødder et polynomium med heltallige koefficienter kan have.

Sætningen siger at hvis det gælder at:

• a₀, a₁, a₂ ... a_n er hele tal hvor a₀ ≠ 0 og a_n ≠ 0
• p og q er hele tal, hvor q ≠ 0 og p/q er en uforkortelig brøk (dvs. p og q er indbyrdes primiske)
• p/q er en rod i polynomiet a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 ... a₀

Så gælder det at:

p går op i a₀, og q går op i a_n.

Anvendelse

Sætningen kan bruges til at afgøre om et polynomium med heltallige koefficienter har nogen rationale rødder, og i givet fald finde dem. Da sætningen giver restriktioner på tæller og nævner af fuldt forkortede rationale brøker som kan være rødder, kan alle muligheder for rationale rødder tjekkes for om de er rødder eller ej. På den måde kan alle rationale rødder findes eller det kan konstateres at der ikke er nogen rationale rødder. De eventuelt fundne rationale rødder kan faktoriseres ud af polynomiet så man får et nyt polynomium med de samme rødder som det oprindelige polynomium på nær de allerede fundne rødder.

Tredjegradsligning

Den generelle tredjegradsligning

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

med heltallige koefficienter har tre komplekse løsninger. Hvis det findes at der ikke er nogle rationale løsninger, vil den eneste måde at udtrykke løsningerne algebraisk på være at bruge kubikrødder. Men hvis der findes rationale løsninger, kan brug af kubikrødder undgås. Hvis præcis en rational løsning r findes, så kan (x - r) faktoriseres ud af tredjegradspolynomiet ved at bruge polynomiumsdivision. Så vil man ende med et andengradspolynomium hvis rødder kan findes med formlen for rødder i andengradspolynomier

Bevis

Lad P(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ hvor a₀, ..., a_n ∈ Z, og antag at P(p/q) = 0 for indbyrdes primiske p, q ∈ Z:

$P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.$

Hvis vi ganger med qⁿ på begge sider, flytter det konstante led til højre side, og faktoriserer p uden for parentes på den venstre side, får vi:

$\qquad p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}.$

Vi ser at p gange heltalsværdien i parentesen er lig med −a₀qⁿ, så p går op i a₀qⁿ. Men da p er indbyrdes primisk med q og dermed også til qⁿ, må det gå op i produktets anden faktor a₀.

Hvis vi i stedet flytter leddet med xⁿ til den højre side, og faktoriserer q uden for parentes, får vi:

$\qquad q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}.$

Og vi kan på tilsvarende vis konkludere at q må gå op i a_n.

Eksempler

Første

I polynomiet

$2x^{3}+x-1$

vil enhver fuldt forkortet rational rod have en tæller som går op 1, og en nævner som går op i 2. Dvs. at de eneste mulige rationale rødder er ±1/2 og ±1. Da ingen af disse er rødder, er der ingen rationale rødder.

Andet

I polynomiet

$x^{3}-7x+6$

vil de eneste mulige rationale rødder have en tæller der går op i 6, og en nævner der går op i 1. Så de eneste muligheder er ±1, ±2, ±3 og ±6. Af disse er 1, 2 og -3 rødder. Disse er alle polynomiets rationale rødder og dets eneste rødder, da et tredjegradspolynomium højst har 3 rødder.

Tredje

Enhver rational rod i polynomiet

$3x^{3}-5x^{2}+5x-2\,\!$

må være et af de 8 tal: ±1/1, ±1/3, ±2/1, ±2/3

Litteratur

• Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, ISBN 0-673-38638-4, pp. 216–221
• Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0-486-25563-8, pp. 116–117 (online copy, p. 116, at Google Books)
• Ron Larson: Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, pp. 23–24 (online kopi, p. 23, at Google Books)

Eksterne henvisninger

• RationalRootTheorem Arkiveret 28. juni 2011 hos Wayback Machine på PlanetMath
• Another proof that n^th roots of integers are irrational, except for perfect nth powers af Scott E. Brodie
• The Rational Roots Test på purplemath.com