Maxwell-relation

Maxwell-relationerne er sammenhænge mellem de afledte af forskellige termodynamiske variable.

Fx er den afledte af temperatur $T$ mht. volumen $V$ ved konstant entropi $S$ lig med den negative afledte af tryk $p$ mht. entropi ved konstant volumen:

$\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V}$

Vha. de termodynamiske potentialer kan adskillige Maxwell-relationer formuleres.

Udledning

For et arbitrært termodynamisk potential $f$, der er en funktion af de variable $x$ og $y$, kan en infinitesimal ændring $\mathrm {d} f$ skrives som en ændring langs med $x$ plus en ændring langs med $y$:

$\mathrm {d} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y}\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}\mathrm {d} y$

Hvis de partielle afledte kaldes for $F_{x}$ og $F_{y}$

${\begin{aligned}F_{x}&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y}\\F_{y}&=\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}\end{aligned}}$

Da $\mathrm {d} f$ er et eksakt differential, gælder Clairauts sætning, der siger, at rækkefølgen for differentiering ikke har betydning:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$

Dermed gælder den generelle Maxwell-relation:

$\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}\right)_{y}$

Denne fremgangsmåde kan anvendes på et hvilket som helst termodynamisk potential:

Eksempel

Som eksempel kan den indre energi $U$ bruges. For et system med tryk-volumen-arbejde er differentialet:

$\mathrm {d} U=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V}\mathrm {d} S+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S}\mathrm {d} V=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V$

I forhold til det generelle eksempel svarer de første afledte til:

${\begin{aligned}F_{S}&=T\\F_{V}&=-p\end{aligned}}$

Ved hjælp af den indre energi findes altså Maxwell-relationen:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial F_{S}}{\partial V}}\right)_{S}&=\left({\frac {\partial F_{V}}{\partial S}}\right)_{V}\\\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}&=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V}\end{aligned}}$

Dette er Maxwell-relationen fra indledningen.

Kildehenvisninger

Spire Denne artikel om fysik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.