Legendre-polynomium

De første seks Legendre-polynomier i intervallet -1 til 1.

Legendre-polynomier er en klasse af polynomier, der bl.a. kan anvendes til at løse fysiske problemer, hvor et inverst potential indgår. Polynomierne blev introduceret af Adrien-Marie Legendre i 1782.

Definition ud fra en frembringende funktion

Polynomierne kan defineres som koefficienterne i en Taylor-ekspansion af den frembringende funktion $f(x,t)$ omkring $t=0$

$f(x,t)={\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}$

hvor $P_{n}(x)$ er det $n$'te Legendre-polynomium. Jf. formlen for et Taylor-polynomium er Legendre-polynomierne altså givet ved:

$P_{n}(x)={\frac {f^{(n)}(x,0)}{n!}}$

Fx er nulte polynomium blot lig med $f$, når $t$ er nul:

$P_{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {1-2x\cdot 0+0^{2}}}}=1$

Polynomium 1 er tilsvarende for den afledte til $f$:

$P_{1}(x)=\left[{\frac {x-t}{(1-2xt+t^{2})^{\tfrac {3}{2}}}}\right]_{t=0}={\frac {x-0}{(1-2x\cdot 0+0^{2})^{\tfrac {3}{2}}}}=x$

Denne metode kan gentages for at fine de næste polynomier, men da differentieringen bliver mere og mere kompleks, er det bedre at formulere en rekursionsformel.

Dette opnås ved at differentiere definitionen på Legendre-polynomierne:

$f'(x,t)=(x-t){\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}{\frac {1}{1-2xt+t^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}$

Den første brøk er blot definitionen på summen, som indsættes i stedet.

$f'(x,t)=(x-t)\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}{\frac {1}{1-2xt+t^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}$

Ligningen omskrives derefter, så $t^{n}$ indgår i alle led:

${\begin{aligned}(x-t)\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}&=(1-2xt+t^{2})\sum _{n=0}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\\x\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}-\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n+1}&=\sum _{n=0}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}-2x\sum _{n=0}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n+1}\\x\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}-\sum _{n=1}^{\infty }P_{n-1}(x)t^{n}&=\sum _{n=-1}^{\infty }(n+1)P_{n+1}(x)t^{n}-2x\sum _{n=0}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }(n-1)P_{n-1}(x)t^{n}\end{aligned}}$

For hver værdi af $n$ skal ligheden også gælde for koefficienter alene:

$xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)=(n+1)P_{n+1}(x)-2xnP_{n}(x)+(n-1)P_{n-1}(x)$

Det næste polynomium $P_{n+1}$ er altså givet ved:

$P_{n+1}(x)={\frac {(1+2n)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}{n+1}}$

Da $P_{0}$ og $P_{1}$ er kendte, kan de øvrige funktioner altså let findes uden brug af differentialregning.

Fx er $P_{2}$ givet ved:

$P_{2}(x)={\frac {(1+2)xP_{1}(x)-P_{0}(x)}{1+1}}={\frac {3}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}$