Herons formel er en formel som Heron beskrev og anførte et bevis for: Den angiver arealet
af en trekant med siderne
,
og
:
![{\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2040da62a4f48c9f502e3f38e44133524401c00)
hvor
er trekantens halve omkreds, dvs.
![{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787a98dac5681f383514fc1bd5b4d8e561a3fd21)
I specialtilfældet
(ligesidet trekant), fås
![{\displaystyle A={\sqrt {{\frac {3a}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7318e35fe72c2acaf479341a32a9bfc69d5bc36)
i overensstemmelse med en beregning byggende på Pythagoras' læresætning.
Herons formel er et vigtigt teorem i plangeometrien. Skønt der kun indgår længder af linjestykker (ingen vinkler) i Herons formel, ville man i dag udlede den på basis af trigonometri; det er bemærkelsesværdigt at man på Herons tid kunne klare sig foruden.
Herons beskrivelse og bevis for formlen optræder i hans bog Metrica fra omkring år 60: Dette værk er en sammenfatning af den matematiske viden som grækerne besad på hans tid, så formlen har formodentlig været kendt længe inden Metrica blev udgivet – nogen gætter endda på at Arkimedes kendte til denne formel.
Kineserne har siden udledt en anden formel med samme betydning, uafhængigt af grækerne. I Qin Jiushaos værk Shushu Jiuzhang, udgivet i 1247, optræder formlen på denne form:
![{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {a^{2}\cdot c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b016a7e33089a8f2af51afd7d69190f3f286fa1b)
På tegningen til højre er vist en "vilkårlig" trekant
, som ved hjælp af højden
er blevet delt op i to retvinklede trekanter. Denne højde deler også siden
i to dele med længderne
og
.
Ved at bruge Pythagoras' læresætning på de to retvinklede trekanter, får man:
- For trekanten til venstre for højden:
![{\displaystyle h^{2}+x^{2}=c^{2}\Leftrightarrow h^{2}=c^{2}-x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b886963089151c231aee8e02ae0d638b1d49c30)
- For trekanten til højre for højden:
![{\displaystyle h^{2}+(b-x)^{2}=a^{2}\Leftrightarrow h^{2}=a^{2}-(b-x)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e59e3dddc9eeeb59996a5f365f689cf86d261b9)
Bemærk de to udtryk til højre for dobbeltpilene; de giver to forskellige regneudtryk for samme størrelse, nemlig
. Derfor kan vi sætte disse to udtryk lig med hinanden, og det giver
![{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-x^{2}&=a^{2}-(b-x)^{2}\Leftrightarrow \\c^{2}&=a^{2}-(b-x)^{2}+x^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b021713195bc0c7f1b28376c782adf715882ea3)
Nu er
blevet isoleret på venstre side af lighedstegnet. Ved hjælp af regneregler for kvadratet på en toleddet størrelse kan udtrykket på højre side reduceres lidt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}-(b-x)^{2}+x^{2}\Leftrightarrow \\c^{2}&=a^{2}-(b^{2}+x^{2}-2\cdot b\cdot x)+x^{2}\Leftrightarrow \\c^{2}&=a^{2}-b^{2}-x^{2}+2\cdot b\cdot x+x^{2}\Leftrightarrow \\c^{2}&=a^{2}-b^{2}+2\cdot b\cdot x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10c2a762b18cb0809dab6efa92b6369589838dd)
Den sidste ligning skrives nu om, så
er isoleret:
![{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}-b^{2}+2\cdot b\cdot x\Leftrightarrow \\-2\cdot b\cdot x&=a^{2}-b^{2}-c^{2}\Leftrightarrow \\x&={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2\cdot b}}\Leftrightarrow \\x&={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdf41f1dc774f9dd63865f3d6ac5fa59d17c890)
For at regne videre med dette
, "skaffer" man sig et regneudtryk med denne størrelse ved at bruge Pythagoras sætning på trekanten til venstre for den indtegnede højde:
![{\displaystyle h={\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eac3457d8f12567becaedb3b474d6ec68933f23)
Ved at erstatte
med det regneudtryk det blev udledt i forrige ligning, får man:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h&={\sqrt {c^{2}-x^{2}}}\Leftrightarrow \\h&={\sqrt {c^{2}-\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b}}\right)^{2}}}\Leftrightarrow \\h&={\sqrt {c^{2}-{\frac {\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857f4c4dbc06c1b630dd326c6cb04de2bebc9551)
For at få
"bygget ind" i brøken under kvadratrodstegnet, omskrives dette led ved at multiplicere ("forlænge") det med
:
![{\displaystyle c^{2}={\frac {c^{2}\cdot \left(2\cdot b\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}={\frac {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d809fbec7177ac0719574211cd277b9a874780)
Ved at erstatte
i forrige ligning med det sidste udtryk herover, kan hele udtrykket under kvadratrodstegnet skrives som én brøk:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h&={\sqrt {c^{2}-{\frac {\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}}\\&={\sqrt {{\frac {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}-{\frac {\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}}\\&={\sqrt {\frac {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}\\&={\frac {\sqrt {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}}{2\cdot b}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72eb6c2ea934a17388856c94bbe9ad004618107d)
Udtrykket under kvadratrodstegnet består nu af differensen mellem kvadratet på to størrelser: Nu bruges reglen om at
til at omskrive denne del af udtrykket:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {{\big (}2\cdot b\cdot c+\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right){\big )}\cdot {\big (}2\cdot b\cdot c-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right){\big )}}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {\left(2\cdot b\cdot c+b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\cdot \left(2\cdot b\cdot c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)}}{2\cdot b}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4b00acd657bae39a228b319c3a7a93571a752f)
I den sidste linje herover er de små "parenteser i parenteser" under kvadratrodstegnet blevet hævet, så der nu står produktet af to parenteser. I den første parentes skal man bemærke
, som per reglerne for kvadratet af toledede størrelser kan omskrives til
. I udtrykket for højden
kan den første parentes i brøkens tæller altså omskrives sådan her:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {\left(2\cdot b\cdot c+b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\cdot \left(2\cdot b\cdot c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)^{2}-a^{2}{\big )}\cdot \left(2\cdot b\cdot c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)}}{2\cdot b}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c75304d19c499b5ce9968997a95c88ccf9eb3a)
Noget tilsvarende kan gøres for den sidste parentes – her skal man på grund af fortegnene i stedet udnytte at
![{\displaystyle 2\cdot b\cdot c+b^{2}+c^{2}=(b+c)^{2}\Leftrightarrow 2\cdot b\cdot c-c^{2}-b^{2}=-(c-b)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c241838617d3452b74d9efd592831c85dcc27a9)
og så kan udtrykket for
forenkles på denne måde:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)^{2}-a^{2}{\big )}\cdot \left(2\cdot b\cdot c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)^{2}-a^{2}{\big )}\cdot {\big (}a^{2}-\left(c-b\right)^{2}{\big )}}}{2\cdot b}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597301f292298a0f473aa18ee6b901ab903ed30d)
Nu indeholder hver parentes differensen mellem kvadratet på to tal, og kan således hver især omskrives til produktet at de to tals hhv. sum og differens:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)^{2}-a^{2}{\big )}\cdot {\big (}a^{2}-\left(c-b\right)^{2}{\big )}}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)+a{\big )}\cdot {\big (}\left(b+c\right)-a{\big )}\cdot {\big (}a+\left(c-b\right){\big )}\cdot {\big (}a-\left(c-b\right){\big )}}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {\left(b+c+a\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a-c+b\right)}}{2\cdot b}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9377c0d82aa9269c36a998c2ba4fbd59b55c692)
I sidste linje herover er de små "parenteser i parenteser" blevet hævet.
Højden
er tegnet ud fra grundlinjen
, og ud fra de to størrelser beregnes trekantens areal
som:
![{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot h\cdot b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8158bed138cd392ae897f11dc3525c58fd5d447)
Hvis man i dette udtryk indsætter det udtryk for
ovenfor og siden reducerer udtrykket, får man:
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\cdot h\cdot b\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {\left(b+c+a\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a-c+b\right)}}{2\cdot b}}\cdot b\\&={\frac {\sqrt {\left(b+c+a\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a-c+b\right)}}{4}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1a76c1a8f345a506540c467a3be3c248b031e5)
Den sidste del af beviset går ud på at demonstrere, at man fra Herons formel kan "regne sig tilbage" til samme udtryk for trekantens areal som ovenfor:
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s\cdot \left(s-a\right)\cdot \left(s-b\right)\cdot \left(s-c\right)}}\ ,\ s={\frac {a+b+c}{2}}\Leftrightarrow \\A&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-a\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-b\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-c\right)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c5229076642bd9be5f497196bd7a829f9267f1)
For at få hhv.
,
og
"bygget ind" i brøkerne, skal de "forlænges" så de optræder med nævneren 2 – herefter kan udtrykket reduceres:
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-a\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-b\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-c\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-{\frac {2\cdot a}{2}}\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-{\frac {2\cdot b}{2}}\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-{\frac {2\cdot c}{2}}\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot {\frac {a+b+c-2\cdot a}{2}}\cdot {\frac {a+b+c-2\cdot b}{2}}\cdot {\frac {a+b+c-2\cdot c}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot {\frac {b+c-a}{2}}\cdot {\frac {a+c-b}{2}}\cdot {\frac {a+b-c}{2}}}}\\&={\sqrt {\frac {\left(a+b+c\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a+b-c\right)}{16}}}\\&={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a+b-c\right)}}{4}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec08c8418c1919392112dd020827f6e6f4a2ab49)
Da dette udtryk essentielt er det samme som det udtryk den første del af beviset endte med, er Herons formel hermed bevist.