Gravitationsparameter

Legeme	μ [m3 s−2]
Solen	7011132712440042000♠1.32712440042(10)	⋅ 1020
Merkur	7004220320000000000♠2.2032(9)	⋅ 1013
Venus	7005324859000000000♠3.24859(9)	⋅ 1014
Jorden	7009398600441800000♠3.986004418(8)	⋅ 1014
Månen	7007490486950000000♠4.9048695(9)	⋅ 1012
Mars	7006428283700000000♠4.282837(2)	⋅ 1013
Ceres	7005626325000000000♠6.26325	⋅ 1010
Jupiter	7008126686534000000♠1.26686534(9)	⋅ 1017
Saturn	7007379311870000000♠3.7931187(9)	⋅ 1016
Uranus	7006579393900000000♠5.793939(9)	⋅ 1015
Neptun	7006683652900000000♠6.836529(9)	⋅ 1015
Pluto	7002871000000000000♠8.71(9)	⋅ 1011
Eris	7003110800000000000♠1.108(9)	⋅ 1012

Ved et himmellegemes gravitationsparameter forstås produktet af den universelle gravitationskonstant $G$ og legemets masse $M$. Den betegnes $GM$ eller $\mu$

$GM=\mu \equiv G\cdot M$

Størrelsen er indført, fordi den kan måles med meget stor nøjagtighed. Hosstående tabel viser måleresultater for Solen, planeterne, Månen og tre dværgplaneter; tallet i parentes angiver usikkerheden på sidste ciffer.

Gravitationsparameteren indgår som en vigtig faktor i Newtons gravitationslov,

$F_{\text{grav}}={\frac {G\cdot M\cdot m}{r^{2}}}={\frac {\mu \cdot m}{r^{2}}}$

Hvis man ønsker at bestemme himmellegemets masse $M$, skal man blot dividere med $G$, men da denne fysiske størrelse er vanskelig at måle nøjagtigt. , vil usikkerheden forplante sig til $M$.

Eksempel

For Solen er (jfr. tabellen)

$GM_{\odot }=(1.327\,124\,400\,42\pm 0.000\,000\,000\,10)\cdot 10^{20}\;{\text{m}}^{3}\,{\text{s}}^{-2}$

Den relative nøjagtighed er $7.5\cdot 10^{-10}$.

Den hidtil nøjagtigst bestemte værdi af $G$ er

$G=(6.674\,30\;\pm \;0.000\,15)\cdot 10^{-11}\;{\text{m}}^{3}\,{\text{s}}^{-2}\,{\text{kg}}^{-1}$

Her er den relative nøjagtighed $2.2\cdot 10^{-5}$, der er ca. $30\,000$ gange større. Usikkerheden på $M_{\odot }$ nedarves derfor praktisk taget alene fra $G$. Solens masse bliver da

$M_{\odot }={\frac {GM_{\odot }}{G}}=(1.988\,41\;\pm \;0.000\,04)\cdot 10^{30}\;{\text{kg}}$

I praksis er dette dog ofte ikke et problem, fordi det i mange sammenhænge er kombinationen $GM=\mu$, som indgår. Det gælder for eksempel Keplers tredje lov, der sammenknytter middelafstand $a$ og omløbstid $P$.

For Solen ($\odot$) og en planet (${\text{p}}$), lyder loven:

${\frac {a^{3}}{P^{2}}}={\frac {\mu _{\odot }+\mu _{\text{p}}}{4\cdot \pi ^{2}}}$

Hvis $\mu _{\text{p}}$ er forsvindende sammenlignet med $\mu _{\odot }$, så kan $\mu _{\odot }$ bestemmes ved målinger af $a$ og $P$.

For et kugleformet himmellegeme med en radius på $R$ kan $\mu$ også bestemmes ved måling af svingningstiden for et pendul med svingningstiden $P$ og pendullængden $L$, idet der for små udsving gælder

$\mu ={\frac {4\pi ^{2}\cdot R^{2}\cdot L}{P^{2}}}$

I andre sammenhænge indgår kun massen, for eksempel ved beregning af en kugles middeldensitet ud fra masse $M$ og radius $R$:

$\rho ={\frac {M}{\textstyle {\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot R^{3}}}$

Her undgår man ikke, at usikkerheden på $G$ spiller ind.

Se også

• Astronomiske enheder