Gelfand-Naimark-Segal-konstruktionen
GNS-konstruktionen er et af funktionalanalysens fundamentale resultater, og det er essentielt for den algebraiske tilgang til kvantefeltteori. For en C*-algebra A, findes der ifølge Gelfand–Naimark–Segal konstruktionen en sammenhæng mellem cykliske *-repræsentationer af A og visse lineære funktionaler på A (kaldet tilstande). Givet en tilstand kan *-repræsentationen eksplicit konstrueres. Selve proceduren kaldes GNS-konstruktionen og er navngivet efter de tre matematikere Israel Gelfand, Mark Naimark og Irving Segal.
Tilstande og repræsentationer
[redigér | rediger kildetekst]I det følgende er A en unital C*-algebra. En lineær funktional φ: A → ℂ er positiv hvis φ(a) ≥ 0 for alle positive elementer i A. Funktionalen φ kaldes en tilstand dersom φ er positiv (φ ≥ 0) og φ(1) = 1. Denne terminologi har sin oprindelse fra forbindelsen mellem C*-algebraer og kvantefysik.
En *-repræsentation af en (unital) C*-algebra A på et Hilbertrum H er en (unital) *-homomorfi π fra A til algebraen af begrænsede operatorer på H
Repræsentationen π kaldes tro, hvis den er injektiv.
GNS-par
[redigér | rediger kildetekst]Lad φ være en positiv lineær funktional på A. Et GNS-par for (A,φ) er da et par (π,ξ) bestående af en repræsentation π af A på et Hilbertrum H og en vektor ξ∈ H således at
- (cyklisk)
- for alle a∈A
For et par (π,ξ), der opfylder den første betingelse kaldes ξ en cyklisk vektor og π en cyklisk repræsentation.
To GNS-par (π,ξ) og (π',ξ') siges at være ækvivalente hvis der findes en unitær operator W: H → H' således at Wξ = ξ' og Wπ(a) = π'(a)W for a∈A.
Bemærk: Vi har defineret det indre produkt, så det er lineært i første argument og anti-lineært i andet argument. I fysik-litteraturen defineres det oftest modsat.
GNS-konstruktionen
[redigér | rediger kildetekst]Lad π være en *-repræsentation af en C*-algebra A på et Hilbertrum H med cyklisk vektor ξ med enhedsnorm. Så er
en tilstand på A. Implikationen gælder begge veje: Enhver tilstand på en C*-algebra er på formen givet ovenfor. Det er et resultat af GNS-konstruktionen:
Teorem. For alle positive funktionaler på en unital C*-algebra A, findes der et GNS-par, dvs. en *-repræsentation π og en cyklisk vektor ξ, og det er entydigt op til ækvivalens.
Konstruktionen er som følger: Via tilstanden φ kan vi definere et præ-indre produkt, givet ved
Det er et præ-indre produkt, da kan ske uden at x = 0. Det kan vises at det præ-indre produkt opfylder Cauchy–Schwarz uligheden. Det tillader os at vise at vektor underrummet defineret ved
er et venstre-ideal i A.
På kvotientrummet af A med vektor underrummet N er det præ-indre produkt et ægte indre produkt. Ved Cauchy completion af A/N i kvotientnormen fås et Hilbertrum H. Den cykliske vektor i H er da givet ved ækvivalensklassen 1, dvs. ξ=[1].
Vi mangler at konstruere π. Tag a∈A, og definér
ved
- .
Da N er et ideal, gælder der , og der induceres en operator
ved
- .
Det kan vises at er begrænset, og derfor kontinuert. Den kan derfor entydigt udvides til en operator . Det er klart at π er en algebra-homomofi, og at π er *-bevarende ses ved at bemærke at
hvor η = [x} og ζ = [y]. Ved at skrive begge sider ud fås φ(y*ax). Med andre ord er π(a)* = π(a*).
Tilsammen udgør (π,ξ) et GNS-par for φ, idet:
som tydeligvis er tæt i H, og
- .
For at vise at GNS-parret er entydigt, ser vi på et andet GNS-par (π',ξ') for φ. Ud fra egenskaberne for et GNS-par kan vi vise at der findes en entydig isometri W0 fra det tætte underrum π(A)ξ på π'(A)ξ' defineret ved W0: π(a)ξ ↦ π'(a)ξ', da der for alle a∈A gælder
- .
Isometrien W0 kan entydigt udvides til en unitær operator W: H → H, og det ses at Wξ = ξ' og Wπ(a) = π'(a)W på det tætte mængde af vektorer π(A)ξ⊆H. Det følger hermed at (π,ξ) og (π',ξ') er ækvivalente.
GNS-konstruktionen er en af hovedingredienserne i beviset af Gelfand–Naimark teoremet, der karakteriserer unitale C*-algebraer som C*-algebraer af operatorer på et eller andet Hilbertrum. Med andre ord, en C*-algebra har tilstrækkelig mange tilstande, således at den direkte sum af de tilsvarende GNS repræsentationer er en tro *-isomorfi.
Generalisering
[redigér | rediger kildetekst]Stinespring factorization theoremet, der karakteriserer fuldstændige positive afbildninger, er en vigtig generalisering af GNS-konstruktionen.
Historie
[redigér | rediger kildetekst]Gelfand og Naimarks artikel om Gelfand–Naimark teoremet blev publiceret i 1943.[1] Segal bemærkede den implicitte konstruktion i artiklen og frembragte den eksplicitte form.[2]
Segal viste i en artikel fra 1947, at det var tilstrækkeligt for et hvilket som helst fysisk system, som kan beskrives ved en algebra af operatorer på et Hilbertrum, at betragte irreducible repræsentationer af C*-algebraen. I kvanteteorier betyder dette, at C*-algebraen er genereret af observable. Dette var tidligere blevet vist af John von Neumann for den ikke-relativistiske Schrödinger-Heisenberg teori.[3]
Referencer
[redigér | rediger kildetekst]- William Arveson, An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1981, og A short course on Spectral Theory.
- Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars, 1969.
English translation: Dixmier, Jacques (1982). C*-algebras. North-Holland. ISBN 0-444-86391-5. - Thomas Timmermann, An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond, European Mathematical Society, 2008, ISBN 978-3-03719-043-2 – Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)
- Stefan Waldmann: On the representation theory of deformation quantization, In: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, ISBN 978-3-11-017247-8, p. 107–134 – section 4. The GNS construction (p. 113)
- Referencer i teksten
- ^ I. M. Gelfand, M. A. Naimark (1943). "On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space". Matematicheskii Sbornik. 12 (2): 197-217. (also Google Books, see pp. 3–20)
- ^ Richard V. Kadison: Notes on the Gelfand–Neimark theorem. In: Robert C. Doran (ed.): C*-Algebras: 1943–1993. A Fifty Year Celebration, AMS special session commemorating the first fifty years of C*-algebra theory, January 13–14, 1993, San Antonio, Texas, American Mathematical Society, pp. 21–54, ISBN 0-8218-5175-6 (available from Google Books, see pp. 21 ff.)
- ^ I. E. Segal (1947). "Irreducible representations of operator algebras" (PDF). Bull. Am. Math. Soc. 53: 73-88.