Carnot-kredsproces

En Carnot-kredsproces eller Carnot-cyklus er en termodynamisk kredsproces, der opnår den maksimale nyttevirkning, som dog stadig er under 1. Bortset fra på mikroskopisk niveau^[2] kan en Carnot-varmluftmotor ikke fremstilles i virkeligheden,^[3] men den står som den teoretisk øvre grænse for varmekraftmaskiners effektivitet jf. Carnots sætning.^[4]^[1]

Carnot-kredsprocessen blev formuleret af Sadi Carnot (1796-1832).^[5]

Kredsprocessen

Under Carnots kredsproces bliver en idealgas udsat for kompression og ekspansion, og processen kan deles op i fire delprocesser. Motoren er i kontakt med et varmt reservoir med temperaturen $T_{\text{H}}$ ( ${\text{H}}$ for Hot) og et koldt med temperaturen $T_{\text{C}}$ ( ${\text{C}}$ for Cold).

I starten (1) har gassen den høje temperatur $T_{\text{H}}$ og udvides derfra isotermt, så temperaturen holdes konstant. Derved modtager gassen varmen $Q_{\text{H}}$ fra det varme reservoir. Den overførte varme under en isoterm ekspansion af en idealgas er givet ved:

Q_{\text{H}}=nRT_{\text{H}}\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)

hvor

n

er stofmængden,

R

er gaskonstanten, og

V

er volumen.

Gassen ekspanderer nu yderligere (2-3) adiabatisk, indtil temperaturen af gassen er faldet til $T_{\text{C}}$ . For en adiabatisk ekspansion gælder det, at:

T_{\text{H}}V_{2}^{\gamma -1}=T_{\text{C}}V_{3}^{\gamma -1}

og derfor er forholdet mellem temperaturerne givet ved:

{\frac {T_{\text{H}}}{T_{\text{C}}}}=\left({\frac {V_{3}}{V_{2}}}\right)^{\gamma -1}

I den tredje proces komprimeres gassen nu (3-4) igen isoterm, hvilket får gassen til at afgive varmen $Q_{\text{C}}$ til reservoiret. Som før er denne varme givet ved:

Q_{\text{C}}=-nRT_{\text{C}}\ln \left({\frac {V_{4}}{V_{3}}}\right)=nRT_{\text{C}}\ln \left({\frac {V_{3}}{V_{4}}}\right)

hvor det negative fortegn angiver, at varmen forlader gassen.

Til sidst komprimeres gassen adiabatisk for at komme tilbage til tilstand 1 med temperaturen $T_{\text{H}}$ . Det gælder altså, at

{\frac {T_{\text{C}}}{T_{\text{H}}}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{4}}}\right)^{\gamma -1}

Forholdet mellem $Q_{\text{H}}$ og $Q_{\text{C}}$ kan nu udledes. Fra de isoterme processer ses det, at:

{\frac {Q_{\text{H}}}{Q_{\text{C}}}}={\frac {nRT_{\text{H}}\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}{nRT_{\text{C}}\ln \left({\frac {V_{3}}{V_{4}}}\right)}}={\frac {T_{\text{H}}}{T_{\text{C}}}}{\frac {\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}{\ln \left({\frac {V_{3}}{V_{4}}}\right)}}

Fra de adiabatisk processer vides det, at volumenerne er relateret ved

{\frac {T_{\text{H}}}{T_{\text{C}}}}=\left({\frac {V_{3}}{V_{2}}}\right)^{\gamma -1}=\left({\frac {V_{4}}{V_{1}}}\right)^{\gamma -1}

Omarrangeringen af ligningen viser:

{\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\frac {V_{2}}{V_{1}}}

Da disse to brøker altså i virkeligheden er ens, forsimples udtrykket for varmeoverførslerne:

${\frac {Q_{\text{H}}}{Q_{\text{C}}}}={\frac {T_{\text{H}}}{T_{\text{C}}}}$

(1)

Jo større temperaturforhold, jo større er forskellen i varmeoverførsel. Denne ligning kan bruges til at definere temperatur.^[1]

Arbejde og nyttevirkning

Nyttevirkningen $\eta$ kan nu beregnes. Den er defineret som forholdet mellem den tilførte varme $Q_{\text{H}}$ , og det effektive arbejde ydet på omgivelserne $W_{\text{out}}$ :

\eta ={\frac {W_{\text{out}}}{Q_{\text{H}}}}

Arbejdet kan findes ved at udnytte, at en fuldendt kredsproces har bevaret den indre energi, og at tilført arbejde derfor er minus den tilførte varme:

\Delta W=-\Delta Q

Arbejde på gassen regner arbejde på omgivelserne som negativ:

\Delta W=-W_{\text{out}}

Og den tilførte varme må blot være:

\Delta Q=Q_{\text{H}}-Q_{\text{C}}

Arbejdet, som kommer ud af en Carnot-varmluftmotor, er altså:

W_{\text{out}}=Q_{\text{H}}-Q_{\text{C}}

Dette indsættes i udtrykket for nyttevirkningen:

\eta ={\frac {Q_{\text{H}}-Q_{\text{C}}}{Q_{\text{H}}}}=1-{\frac {Q_{\text{C}}}{Q_{\text{H}}}}

Vha. lign. 1 kan varmen erstattes med temperaturerne:

$\eta _{\text{Carnot}}=1-{\frac {T_{\text{C}}}{T_{\text{H}}}}$

Temperaturene skal indsættes i Kelvin. Jo større temperaturforhold, jo bedre er varmeudnyttelsen altså. En nyttevirkning på 1 er en 100 % omdannelse af varme til arbejde, men det ses, at 100 % ikke kan opnås for endelige temperaturer.^[1]

Carnot-varmepumpe

Hvis en Carnot-kredsproces forløber omvendt, udføres et arbejde for at transportere varme fra et koldt reservoir til et varmt. En omvendt Carnot-varmluftmotor er således en varmepumpe. Nyttevirkningen er da også omvendt, da den beskriver, hvor meget varme kan pumpes i forhold til arbejdet:

\eta _{\text{varmepumpe}}={\frac {Q_{\text{H}}}{W_{\text{out}}}}={\frac {1}{\eta _{\text{Carnot}}}}={\frac {1}{1-{\frac {T_{\text{C}}}{T_{\text{H}}}}}}

Temperaturene skal indsættes i Kelvin. Det ses, at en Carnot-varmepumpe har en nyttevirkning på over 1.^[6]

Kildehenvisninger

^ ^a ^b ^c ^d Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "13.2 The Carnot engine". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 123-125. ISBN 978-0-19-856770-7.
^ Ignacio A. Martínez; et al. (6. januar 2016). "Brownian Carnot engine". Nature Physics. s. 67-70.
^ Nicholas Giordano (13. februar 2009). College Physics: Reasoning and Relationships. Cengage Learning. s. 510. ISBN 978-0-534-42471-8.
^ Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "13.3 Carnot's theorem". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 126. ISBN 978-0-19-856770-7.
^ Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "Sadi Carnot (1796–1832)". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 135. ISBN 978-0-19-856770-7.
^ Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "13.6 Heat engines running backwards". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 129-130. ISBN 978-0-19-856770-7.

[blundell_123-125-1] Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "13.2 The Carnot engine". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 123-125. ISBN 978-0-19-856770-7.

[Martinez2016-2] Ignacio A. Martínez; et al. (6. januar 2016). "Brownian Carnot engine". Nature Physics. s. 67-70.

[Giordano2009-3] Nicholas Giordano (13. februar 2009). College Physics: Reasoning and Relationships. Cengage Learning. s. 510. ISBN 978-0-534-42471-8.

[blundell_126-4] Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "13.3 Carnot's theorem". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 126. ISBN 978-0-19-856770-7.

[blundell_135-5] Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "Sadi Carnot (1796–1832)". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 135. ISBN 978-0-19-856770-7.

[blundell_129-130-6] Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "13.6 Heat engines running backwards". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 129-130. ISBN 978-0-19-856770-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]