Vi ser på en følge:
Vi kan se, at denne nærmer sig 1, fordi tælleren altid vil være større end nævneren.
Vi kan samtidig se, at jo større n bliver, jo tættere kommer vi på 1. Dette kalder vi at følgen konvergerer mod 1, som kaldes grænseværdien a.
I en konvergent følge kan man afsætte den vilkårlige afstand
på y-aksen, som er lige stor over og under det tal følgen konvergerer mod. For at følgen skal være konvergent, må dens værdier på et givent tidspunkt, N, efterfølgende ikke komme udenfor
, og afstanden mellem et tal i følgen og det tal følgen konvergerer mod, vil til sidst gå mod 0.
Definition:
Følgen
konvergerer mod tallet a, ![{\displaystyle {\begin{Bmatrix}a_{n}\end{Bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d35667bffe1fc4fade7ba2117cce201b20ae2d8)
når der for alle
> 0, findes et tal N
således at
<
for alle n
N
Eksempel
Vi så på følgen
og postod at den konvergerede mod grænseværdien 1
Nu kan vi undersøge om dette er rigtigt:
= (n-1)/n
=
=
=
=
Vi skal så vise at uanset hvilket
> 0, så kan vi finde et N
således at
når n
N. Vi bestemmer at n er et naturligt tal således at 1/N<
:
Vi ser på en følge:
Vi kan se, at denne nærmer sig 1, fordi tælleren altid vil være større end nævneren.
Vi kan samtidig se, at jo større n bliver, jo tættere kommer vi på 1. Dette kalder vi at følgen konvergerer mod 1, som kaldes grænseværdien a.
I en konvergent følge kan man afsætte den vilkårlige afstand
på y-aksen, som er lige stor over og under det tal følgen konvergerer mod. For at følgen skal være konvergent, må dens værdier på et givent tidspunkt, N, efterfølgende ikke komme udenfor
, og afstanden mellem et tal i følgen og det tal følgen konvergerer mod, vil til sidst gå mod 0.
Definition:
Følgen
konvergerer mod tallet a, ![{\displaystyle {\begin{Bmatrix}a_{n}\end{Bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d35667bffe1fc4fade7ba2117cce201b20ae2d8)
når der for alle
> 0, findes et tal N
således at
<
for alle n
N
Eksempel
Vi så på følgen
og postod at den konvergerede mod grænseværdien 1
Nu kan vi undersøge om dette er rigtigt:
= (n-1)/n
=
=
=
=
Vi skal så vise at uanset hvilket
> 0, så kan vi finde et N
således at
når n