Bruger:Sagtw/diff2
I denne artikel vil der blive uddybet en metode til at løse en andenordningens differensligning, dvs en differensligning, der har formen
xn+2 + bxn+1 + cxn = 0
Metoden kan uden videre generaliseres til højereordensdifferensligninger.
Begyndelsespunkternes betydning
[redigér | rediger kildetekst]Vi antager at x0 og x1 er kendte og sætter n lig med 0.
Det ser således ud: x0+2 + bx0+1 + cx0 <=> x2 = -b1 - cx0 = 0
Herefter sætter vi n = 1:
x1+2 + bx1+1 + cx1 <=> x3 = -bx2 -cx1 = -b(-bx1 - cx0)-cx1 = (b2-c)x1+bcx0.
Dette bliver meget kompliceret, men det fortæller os dog at x0 og x1 bestemmer hele
løsningen, idet alle efterfølgende led i følgen er fastlagt ved x0 og x1.
Beregning af løsninger
[redigér | rediger kildetekst]For 1. ordens differensligninger gælder det, at{xn} = {rn} er en løsning, såfremt begyndelsesbetingelsen er opfyldt. Det viser sig, at ideen kan overføres til højereordensdifferensligninger - indsættes rn i den karakteristiske ligning for en andenordensdifferensligning på xn plads, fås
0=xn+2 + bxn+1 + cxn = rn+2 + brn+1 + crn = rn(r2 + br + c).
Ifølge nulreglen fås, at rn = 0 eller r2 + br + c = 0.
Sidstnævnte er en andengradsligning med r som ubekendt. Hvis man finder rødder til andengradsligningen finder man samtidig løsninger til den karakteristiske ligning for en differensligning.
Linearkombination af løsninger
[redigér | rediger kildetekst]Givet to løsninger {yn} og {zn}til en andenordens differensligning xn+2 + bxn+1 + cxn = 0 så er {xn} = {Cyn + Dzn} også en løsning. (C og D er konstante reelle tal)
BEVIS:
1) yn+2 + byn+1 + cyn = 0
2) zn+2 + bzn+1 + czn = 0
Vi ganger nu den første linje igennem med konstanten C:
Cyn+2 + Cbyn+1 + Ccyn = 0
Vi ganger 2) igennem med konstanten D:
Dzn+2 + Dbzn+1 + Dczn = 0
Vi lægger nu 1) og 2) sammen og reducerer:
(Cyn+2 + Cbyn+1 + Ccyn) + Dyn+2 + (Dbzn+1 + Dczn) = 0
=> (Cyn+2 + Dyn+2) + b(Cyn+1 + Dzn+1) + c(Cyn + Dzn) = 0
Da {xn} = {Cyn+Dzn} kan vi udskifte leddene (det der står kursiv) med henholdsvis xn+2, xn+1 og xn i ligningen ovenover.
Således: xn+2 + bxn+1 + Cxn = 0. Dermed er xn en løsning.