Bruger:Martin Nørgaard Andersen

         Dette er en anvisning på hvordan det er muligt at løse alle tredjegradsligninger.

         y^3 + p^2 + qy + R = 0
         kan reduseret til x^3 + ax^2 + b = 0
         ved at sætte :

         a = (1/3) (3q - p^2)

         b = (1/27)(2p^3 - 9pq + 27R)

         y = x - (p/3)

         x^3 + ax + b = 0

         Fra trigonometrien har vi:

         4cos^3(v) - 3 cos(v) - cos(3v) = 0

         4sin^3(v) - 3 sin(v) + sin(3v) = 0

         Og fra de tilsvarende hyperbolske funktioner haves :

         4cosh^3(v) - 3cosh(v) - cosh(3v) = 0

         4sinh^3(v) + 3sinh(v) - sinh(3v) = 0

         Lad x være mcos(v) da får vi:

         x^3   +   ax   +   b   =   0
     m^3*cos^3(v) + am*cos(v) + b = 0
     4*cos^3(v)  -3*cos(v)  -  cos(3v) = 0

         (m^3)/4 = -(am)/3 = - b/cos(3v)

         m^2/4 = -(1/3)a

1)         m = 2(-a/3)^(1/2)

          cos(3v) = (3b)/(am)

          v = (1/3)arccos(3b)/(am)

          x1 = mcos(v)

    Dette var når vi bruger og opgaven egnet for cosinus løsning.

    Påsamme måde fås:

2)         m = 2(-a/3)^(1/2)

          sin(3v) = - 3b/am)

          v = (1/3)arcsin(-3b/am)

          x1 = msinv

     Når den er egnet for sinus løsning, til tider kan både sinus og cosinus anvendes.
     det kan de begge når a er negativ og samtidig 3b/am er 1 eller mindre.

3)        m = 2(-a/3)^(1/2)

         cosh(3v) = 3b/am
         
         v = (1/3)arccosh(3b/am)

        x1 = m*cosh(v)

        Dette udtryk kan anvendes når 3b/am er større end 1

4)       m = 2(a/3)^(1/2)

         sinh(3v) = - (3b/am)

         v = (1/3)arcsinh(-3b/am)

         x1 = m*sinhv

     Dette udtryk kan bruges når a er positiv