Bruger:Dipsacus fullonum/sandkasse/1

En trigonometrisk ligning er ikke et begreb med en fast definition inden for matematikken. I denne artikel behandles ligninger med en variabel, som typisk repræsenterer størrelsen af en vinkel, som bruges som argument i en trigonometrisk funktion.

Et eksempel er ligningen "sin(x) = a", hvor a er en konstant, og hvor man ønsker at løse ligningen med hensyn til x, dvs. finde de værdier af x som gør ligningen sand. Da sinus er en periodisk funktion af de reelle tal, har ligningen enten 0 eller uendelig mange løsninger afhængigt af værdien af a. Værdimængden for sinus er det lukkede interval [-1;1], så hvis a < -1 eller a > 1, er der ingen løsninger, og vi er færdige.

Graf for arcsin

Hvis a er i intervallet [-1;1], er der uendelig mange løsninger, og man kan finde én af dem med arcussinus-funktionen, som er den omvendte funktion til en alternativ version af sinus hvor definitionsmængden er ændret fra alle reelle tal til intervallet [-π/2;π/2] som er det største interval indeholdende 0 hvor sinus-funktionen er bijektiv.

arcsin(a) således en løsning til vores ligning som ligger i intervallet [-π/2;π/2], og også den eneste løsning i intervallet. Dette interval har længden π, men sinus er periodisk med perioden 2π, og vi behøver at finde alle løsninger inden for en periode. Til dette kan man udnytte at der gælder følgende identitet for sinus: sin(x) = sin(π-x). Da vi ved at arcsin(a) er en løsning, følger det fra identiteten at π-arcsin(a) også er en løsning. Da arcsin(a) ligger i [-π/2;π/2], vil løsningen π-arcsin(a) ligge i intervallet [π/2;3π/2], og det er den eneste løsning i dette interval da sinus er monotom (aftagende) i hele intervallet.

Vi kender nu to løsninger som begge ligger i et interval med længden π, og da de 2 intervaller har et fælles endepunkt, (π/2), udgør de til sammen et interval med den dobbelte længde: 2π. Dette er netop perioden for sinus, så den komplette løsning til ligningen sin(x) = a er:

Ingen løsning hvis a < -1 eller a > 1

x = arcsin(a) + 2kπ og x = π - arcsin(a) + 2kπ for alle hele tal k, hvis -1 < a < 1

Hvis der på forhånd er givet yderligere oplysninger om x, skal disse selvfølgelig også tages i betragtning. Hvis man for eksempel er ved beregne størrelsen af en af de spidse vinkler i en retvinklet trekant, ved man at kun løsninger i intervallet ]0;π/2[ kan bruges. I så tilfælde kan kun arcsin(a) være en løsning, og er det kun hvis værdien er positiv.