Borsuk–Ulams sætning

I den del af matematikken der kaldes algebraisk topologi siger Borsuk–Ulams sætning, at enhver kontinuert afbildning fra n-kuglen ind i euklidisk n-rum afbilder mindst et par af antipodale punkter i det samme punkt; her kaldes to punkter antipodale, hvis de ligger præcis modsat hinanden i forhold til kuglens centrum).

Nord- og sydpolen på S² er eksempler på antipodale punkter.

Tilfældet n = 2 illustreres ofte ved at sige, at der til et hvilket som helst tidspunkt findes et par antipodale punkter på Jordens overflade med samme temperatur og samme tryk, idet det antages, at temperatur og tryk varierer kontinuert.

Sætningen blev først formodet af Stanisław Ulam og i 1933 bevist af Karol Borsuk. Ved hjælp af sætningen er det muligt let at bevise Brouwers fikspunktssætning.

Korollarer til sætningen

• Ingen delmængde af Rⁿ er homøomorf til Sⁿ.
• Hvis sfæren Sⁿ overdækkes af n + 1 lukkede mængder, vil mindst indeholde en af disse et par (x, −x) af antipodale punkter.
• Skinkesandwichsætningen som siger, at vi for kompakte mængder A₁, …, A_n i Rⁿ kan finde en hyperplan, der deler hver af delmængderne over i to delmængder med samme mål. Navnet skyldes tilfældet n = 3, hvor en af delmængderne repræsenterer en skive ost og de to øvrige repræsenterer brødet.

Se også

• Brouwers fikspunktssætning
• Sperners lemma
• Tuckers lemma

Henvisninger

• K. Borsuk, "Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre", Fund. Math., 20 (1933), 177-190.
• Jiří Matoušek, "Using the Borsuk–Ulam theorem", Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
• L. Lyusternik and S. Shnirel'man, "Topological Methods in Variational Problems". Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., Moscow, 1930.
• Borsuk-Ulam medfører Brouwers fikspunktssætning Arkiveret 13. oktober 2008 hos Wayback Machine
• Allen Hatcher: Algebraic Topology