Boltzmanns entropiformel

Boltzmanns entropiformel er inden for den statistiske mekanik en central formel, der forbinder et systems entropi $S$ med antallet af mulige mikrotilstande $\Omega$.

$S=k_{\text{B}}\ln \Omega$

hvor $\ln$ er den naturlige logaritme, mens $k_{\text{B}}$ er en proportionalitetskonstant kaldet Boltzmanns konstant. Formlen gælder, når hver mikrotilstand er lige sandsynlig.

Udledning

Ligningen kan udledes fra Gibbs' entropiformel

$S=-k_{\text{B}}\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}$

som er fysikkens version af Shannons entropiformel fra informationsteori. Mikrotilstanden $i$ har sandsynligheden $P_{i}$, men for Boltsmanns formel skal alle $\Omega$ mikrotilstande være lige sandsynlige, så:

$P_{i}={\frac {1}{\Omega }}$

Dette indsættes i Gibbs' formel:

${\begin{aligned}S&=-k_{\text{B}}\sum _{i}^{\Omega }{\frac {1}{\Omega }}\ln \left({\frac {1}{\Omega }}\right)\\S&=-k_{\text{B}}\Omega {\frac {1}{\Omega }}\ln \left({\frac {1}{\Omega }}\right)\\S&=-k_{\text{B}}(-\ln \Omega )\\S&=k_{\text{B}}\ln \Omega \end{aligned}}$

Dermed er Boltzmanns entropiformel blevet udledt.