Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Bessel funktion
af første orden
=0,1,2
Inden for matematik er en Besselfunktion en løsning til differentialligningen
.
Udtrykket kommer når man kigger på den radielle deling af Laplaces ligning i et polært koordinatsystem.
Funktionen er opkaldt efter Friedrich Wilhelm Bessel, men blev først beskrevet af Daniel Bernoulli.
Besselfunktioner af første grad defineres ved :
.
Differentialligningen har to lineært uafhængige løsninger og derfor også besselfunktioner af anden grad:
.
er ikke begrænset når
, hvilket gør at man ofte kan se bort fra denne løsning af fysiske årsager.
I samarbejde med med Laplaces ligning i sfæriske koordinater kommer et lignende udtryk for den radielle del:
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {du}{dx}}+\left(1-{\frac {n(n+1)}{x^{2}}}\right)u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9612747ac05ddaf3297888b2502447389831f93)
Denne har de sfæriske besselfunktioner som løsninger.
![{\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3dee2034ba1e956a76dd0dcc43ecacd6127463)
![{\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-1/2}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9071af5c6667d161f241514984a6b27d654cca6f)