Beltrami-identiteten

Beltrami-identiteten er inden for variationsregning en forsimpling af Euler-Lagrange-ligningen.

Identiteten

For et variationsproblem på formen:

$\delta \int L[y,{\dot {y}},x]dx=0$

hvor

${\dot {y}}\equiv {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}$

er den generelle løsning en Euler-Lagrange-ligning:

${\frac {\partial L}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)=0$

Hvis $L$ ikke eksplicit afhænger af $x$, reducerer ligningen til den simplere Beltrami-identitet:

$L-{\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}=C$

hvor $C$ er en konstant.

Udledning

At $L$ ikke eksplicit afhænger af $x$, betyder, at den partielt afledte mht. $x$ er 0:

${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$

Den almindelige afledte

${\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}x}}={\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial y}}+{\ddot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}+{\frac {\partial L}{\partial x}}$

er da givet ved:

${\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}x}}={\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial y}}+{\ddot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}$

Dette kan omarrangeres:

${\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial y}}={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}x}}-{\ddot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}$

Tilsvarende kan Euler-Lagrange-ligningen ganges med ${\dot {y}}$:

${\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial y}}-{\dot {y}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)=0$

Udtrykket for det første led kan indsættes:

${\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}x}}-{\ddot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}-{\dot {y}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)=0$

Det er det samme som:

${\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)&=0\\{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left(L-{\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)&=0\end{aligned}}$

Siden den afledte er nul, må udtrykket være lig med en konstant $C$:

$L-{\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}=C$

Dermed er Beltrami-identiteten udledt.

Anvendelse

Inden for analytisk mekanik i fysik er $L$ Lagrangen, mens konstanten er den negative Hamilton $H$:

$H=-C={\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}-L$

Den afledte Lagrange kaldes for den generaliserede impuls $p$:

$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}$

$x$ repræsenterer tiden, hvilket vil sige, at Hamiltonen for et system er bevaret, hvis Lagrangen ikke eksplicit afhænger af tiden.