Invertibel matrix

Indenfor lineær algebra har en matrix A egenskaben invertibel, hvis og kun hvis der eksisterer en matrix B således at:

${\underline {\underline {A}}}{\underline {\underline {B}}}={\underline {\underline {B}}}{\underline {\underline {A}}}={\underline {\underline {I}}}$

hvor ${\underline {\underline {I}}}$ er enhedsmatricen. I så fald kaldes ${\underline {\underline {A}}}$ en invertibel matrix og ${\underline {\underline {B}}}$ kaldes den inverse matrix til ${\underline {\underline {A}}}$ og skrives ${\underline {\underline {A}}}^{-1}$. Det følger af definitionen at både ${\underline {\underline {A}}}$ og ${\underline {\underline {A}}}^{-1}$ er kvadratiske matricer af samme dimension n×n.

En invertibel matrix kaldes også for en regulær matrix (eller en ikke-singulær matrix). En kvadratisk matrix som ikke er invertibel kaldes for en singulær matrix (eller en ikke-regulær matrix).

Ækvivalente egenskaber

At en n × n-matrix ${\underline {\underline {A}}}$ er invertibel er ækvivalent med at:

• Determinanten af ${\underline {\underline {A}}}$ ikke er nul, det ${\underline {\underline {A}}}$ ≠ 0.
• ${\underline {\underline {A}}}$ har rang n.
• Ligningen ${\underline {\underline {A}}}{\vec {x}}={\vec {0}}$ har kun den trivielle løsningen ${\vec {x}}={\vec {0}}$. Med andre ord, nulrummet består kun af nulvektoren.
• Den transponerede ${\underline {\underline {A}}}^{T}$ er invertibel.
• Tallet 0 er ikke en egenværdi til ${\underline {\underline {A}}}$.

Se også

• Gauss-elimination