Lagrange-multiplikator

Illustration af et optimeringsproblem med to variable $x$ og $y$ og med en sidebetingelse. Den røde kurve er betingelsen $g$. De blå kurver er derimod konturer for funktionen $f$. Det ses, at punktet, hvor rød og blå tangerer, er det optimale punkt.

En Lagrange-multiplikator bruges til at finde ekstrema - dvs. maksimum eller minimum - for en funktion givet en til flere sidebetingelser.

Metoden

$f$ kan være en funktion af $N$ variable $x_{1}$, $x_{2}$... og $x_{N}$. Sidebetingelsen kan formuleres som en funktion $g$, der skal være lig med nul:

$g(x_{1},x_{2},...,x_{N})=0$

Funktionen $f$ er maksimeret eller minimeret uden sidebetingelse, når gradient er nul:

$\nabla f(x_{1},x_{2},...,x_{N})=0$

hvor $\nabla$ er nabla-operatoren. Dvs. at alle hældninger mht. alle variable skal være nul.

For at indføre sigebetingelsen benyttes det, at de to funktioner skal røre hinanden tangentielt som illustreret i figuren. Da en gradient er vinkelret på en konturlinje. Vil det sige, at de to gradienter skal være parallelle:

$\nabla f\parallel \nabla g$

hvilket også kan skrives som en proportionalitet:

$\nabla f\propto \nabla g$

Dvs. at en ny størrelse kan defineres, hvis gradient skal være nul:

$\nabla \left[f+\lambda g\right]=0$

Her er $\lambda$ en proportionalitetskonstant kaldet en Lagrange-multiplikator. Denne ligning giver et ligningssystem, som kan løses.