Referenceellipsoide

En referenceellipsoide er en oblat omdrejningsellipsoide, der benyttes som en tilnærmet form af Jorden til at koordinatsætte punkter/steder.

Anvendelse

Til brug for udtegning af (land)kort, opmåles punkter på Jorden. Disse punkter koordinatsættes på en oblat-omdrejningsellipsoide der er nærmere specificeret via et terrestisk referencesystem og som enten tilnærmer Jordens form lokalt eller globalt. Herefter kan man fremstille kort i et utal af projektioner til forskellige formål.

Parametre

En omdrejningsellipsoide kan beskrives ved de samme parametre som den ellipse der, hvis den roteres om sin symmetriakse, udtegner omdrejningsellipsoiden. Hvis

a er den halve storakse = ækvatorialradius, og
b er den halve lilleakse = polradius

Så har vi:

Excentriciteten

Excentriciteten udtrykker hvor tæt ellipsen er på at være cirkelformet. e har en værdi mellem 0 og 1. Hvor 0 er en cirkel og 1 er en parabel.

e\quad =\quad {\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}\quad =\quad {\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}

Fladtrykheden

Fladtryktheden angiver hvor stor forskellen er mellem de to radier i forhold til ækvatorialradius.

f\quad =\quad {\frac {a-b}{a}}

Fladtryktheden kan også udtrykkes ved excentriciteten:

\qquad f\quad =\quad 1-{\sqrt {1-e^{2}}}

idet udtrykene for e og f kan omskrives til:

\qquad {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=1-e^{2}\qquad {\mbox{, }}\qquad {\frac {b}{a}}=1-f

Geodætiske koordinater

En koordinat på referenceellipsoiden kaldes for en geodætisk koordinat. Den geodætiske koordinat har sin z-akse (højdeakse) vinkelret på ellipsoidens overflade. Hvilket indebærer at z-aksen kun går gennem ellipsoidens centrum, hvis koordinaten ligger på ækvator eller på en af polerne. Et punkts højde over ellipsoiden kaldes for ellipsoidehøjden.

I modsætning hertil står den geocentriske koordinat, hvis z-akse som navnet antyder går gennem ellipsoidens centrum, og som så ikke generelt står vinkelret på ellipsoidens overflade. Hvis ellipsoiden er geocentrisk, vil den geocentriske koordinat have sin z-akse vinkelret på geoiden.

Den geocentriske breddegrad Φ’ er koblet til den geodætiske breddegrad Φ via^[1]

\tan {\phi \prime }\quad =\quad \left(1-e^{2}\right)\tan {\phi }

Eksempler på referenceellipsoider

Der har historisk været benyttet mange forskellige ellipsoider. Nedenfor er en tabel^[2] over de mest udbredte. (Værdier med fed skrift er eksakte, resten er afrundede – typisk afledte fra andre enheder)

Ellipsoide	Officielt navn	Dato	Ækvatorialradius, km	Polradius, km	Fladtrykthed f	Gyldigheds område
GRS 80	Geodetic Reference System 1980	1980	6378,137	6356,752314140	1/298,257222101	Global (benyttes af IERS og i officiel dansk kortlægning)
WGS84	World Geodetic System 1984	1984	6378,137	6356,752314245	1/298,257223563	Global (benyttes af GPS)
Australien		1965	6378,160	6356,7747	1/298,25	Australien
Krasovskiy		1940	6378,245	6356,8630	1/298,3	Sovjetunionen (Rusland) og Østeuropa
Internat'l	International1924 el. Hayford1909	1924	6378,388	6356,9119	1/297	Resten af verden (herunder Nordeuropa)
Clarke80	Clarke 1880	1880	6378,2491	6356,5149	1/293,46	Det meste af Afrika, samt Frankrig
Clarke66	Clarke 1866	1866	6378,2064	6356,5838	1/294,98	Nordamerika, Filippinerne
Airy	Airy 1830	1830	6377,5634	6356,2569	1/299,32	Storbritannien
Bessel	Bessel 1841	1841	6377,3972	6356,0790	1/299,15	Centraleuropa, Chile, Indonesien
Everest	Everest 1830	1830	6377,2763	6356,0754	1/300,80	Indien, Pakistan og sydøst asiatiske lande

Bemærk, at de små forskelle i halvaksernes længde ikke er et udtryk for unøjagtigheder, men et resultat af forskelligt valg af ellipsoide i forsøget på at tilpasse den til den lokale geoide.

De fleste moderne referencerammer opererer med en globalt tilnærmet omdrejningsellipsoide med centrum i Jordens massemidtpunkt. Dette gælder f.eks. i GPS-systemet. Derimod har alle ellipsoider fra før satellitalderen, generelt ikke centrum det samme sted. De er i stedet knyttet til deres gyldighedsområde via et 'initialpunkt' – et punkt hvor ellipsoiden tangerer den valgte geoide.

Syv-parameter transformation

Opsøger man et punkt med en given længde- og breddegrad på to kort lavet på baggrund af hver deres ellipsoide, så lander man ikke det samme sted. Simpelthen fordi ellipsoiderne ikke er sammenfaldende. For at få en koordinat på én ellipsoide udtrykt på en anden ellipsoide, skal man; skalere, rotere og parallelforskyde koordinaten. Dette kaldes også for en 7-parameter transformation eller en Helmert transformation. Da man vedtog WGS84 valgte det amerikanske forsvar at bibeholde deres længdegrad (ca. 85°V) i det nye system. Det havde så den bivirkning at alt andet flyttede rundt på kloden, hvorved også selveste 0-meridianen flyttede sig. Den flyttede godt 100m østover. Så man står altså ikke længere med et ben på både den østlige og den vestlige halvkugle når man står på observatoriet (og turistattraktionen) i London-forstaden Greenwich.

Ændringer over tid

På grund af pladetektonik flytter kontinenterne rundt og med tiden passer ellipsoiderne så ikke længere så godt til virkeligheden. Og der må fremstilles nye referencesystemer og tilhørende ellipsoider. Heraf kommer brugen af årstal i enden af ellipsoidenavnet.

Ellipsoider i dansk kartografi

I Danmark benyttes i dag officielt GRS80-elipsoiden som er knyttet til referencesystemet ETRS-89 og som også så småt er ved at være i brug i resten af EU. Da forskellen mellem WGS84-ellipsoiden og GRS80-ellipsoiden er meget meget lille benyttes dog i praksis også WGS84 til almindelig kortlægning, uden at det får nogen betydning, så længe der ikke er tale om cm-præcision. Derimod har det stor betydning om en koordinat er refereret til ETRS89/GRS80 eller til det tidligere officielle system; ED50/International1924, idet forskellen er mere end 100m i terrænet. (ED50 er dog er ved at være fuldstændigt udfaset, men findes stadig på trykte kort f.eks. Geodatastyrelsens cm-kort (Tidligere Kort- og Matrikelstyrelsen)).

Agri Bavnehøj i Mols Bjerge har de geodætiske koordinater:

56°13′47.6125″N 10°32′11.3928″Ø / 56.229892361°N 10.536498000°Ø / 56.229892361; 10.536498000 i ETRS89/GRS80

56°13′49.7777″N 10°32′15.9359″Ø / 56.230493806°N 10.537759972°Ø / 56.230493806; 10.537759972 i ED50/International 1924

Opsøger man punktet i det 'forkerte' referencesystem, så lander man ca. 103m væk. (Beregnet med Geodatastyrelsens Web-koordinattransformation, se ekstern henvisning). Det er værd at bemærke, at Agri Bavnehøj ikke er flyttet ca. 100m ssv-over. Der er tale om geodætiske koordinater, altså koordinater på ellipsoiden, og ikke astronomiske koordinater. Sidstnævnte afhænger af den lokale lodlinje og dermed af geoiden. På grund af pladetektonik flytter Danmark ca. 2-3 mm nnø-over hvert år. Så højen er (sammen med resten af landet) på 40 år kun flyttet ca. 10cm, endda i modsat retning.

Det endnu tidligere danske System34(45) har ikke knyttet en egentlig ellipsoide til sig. (Agri Bavnehøj er i øvrigt udgangspunktet for det danske planfikspunktsnet og System34 hvor det har koordinaten (200km, 200km).

Kilder

^ H. Karttunen et al., Fundamental Astronomy, 3rd edition, Springer, 1996. ISBN 3-540-60936-9
^ J.P.Snyder: Map Projections – A Working Manual, USGS Professional Paper 1395, US Dep. of Interior; Washington; 1987

Eksterne henvisninger

Geodatastyrelsens Koordinattransformation Arkiveret 6. januar 2013 hos Wayback Machine Hentet 14. jan. 2013

[1] H. Karttunen et al., Fundamental Astronomy, 3rd edition, Springer, 1996. ISBN 3-540-60936-9

[2] J.P.Snyder: Map Projections – A Working Manual, USGS Professional Paper 1395, US Dep. of Interior; Washington; 1987

[1]

[2]