Konvergent følge

En konvergent følge er en talfølge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n},\ldots )$, som konvergerer mod et eller andet tal $a$, dvs. har dette $a$ som grænseværdi; dette vil sige, at fra et eller andet sted i følgen ligger alle elementer vilkårligt tæt på $a$.

Formelt kan man sige, at talfølgen konvergerer mod $a$, hvis der til ethvert positivt tal $\varepsilon$ (uanset hvor arbitrært lille) kan findes et naturligt tal $N$, således at for alle $n\geq N$ vil afstanden $|a_{n}-a|$ være mindre end tallet $\varepsilon$. Definitionen kan skrives kortfattet med kvantorer:

$\exists a\in \mathbb {R} \,\forall \varepsilon >0\,\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n\in \mathbb {N} :n\geq N\Rightarrow |a_{n}-a|<\varepsilon$

En følge, der ikke er konvergent, kaldes divergent.

Kilder

• Talfølger og -rækker: Introduktion til Matematisk Analyse. Af Dan Belfoft og Klaus Thomsen. Aarhus Universitet 2010.